It is unknown whether there is any odd perfect number, though various results have been obtained. In 1496, Jacques Lefèvre stated that Euclid's rule gives all perfect numbers,[18] thus implying that no odd perfect number exists. Euler stated: "Whether (...) there are any odd perfect numbers is a most difficult question". More recently, Carl Pomerance has presented a heuristic argument suggesting that indeed no odd perfect number should exist. All perfect numbers are also Ore's harmonic numbers, and it has been conjectured as well that there are no odd Ore's harmonic numbers other than 1.

liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych). Jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją. Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci {\displaystyle p^{4k+1}l^{2}\,} p^{{4k+1}}l^{2}\,, gdzie p jest liczbą pierwszą postaci 4m+1. Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od 101500

Alle bekannten vollkommenen Zahlen sind gerade und von Mersenne-Primzahlen abgeleitet. Es ist unbekannt, ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt. Schon in der griechischen Antike waren vollkommene Zahlen bekannt, ihre wichtigsten Eigenschaften wurden in den Elementen des Euklid behandelt. Alle geraden vollkommenen Zahlen enden auf 6 oder 8. Vollkommene Zahlen waren oft Gegenstand zahlenmystischer und numerologischer Deutungen.